مهارات التفكير العليا

مشتقة اقترانات خاصة

(25) تبرير: إذا كان الاقتران : y = e^x - ax، حيث a عدد حقيقي، فأجد معادلة المماس عند نقطة تقاطع الاقتران مع المحور y، مبررًا إجابتي.

y = e^x – ax

x = 0  $\Rightarrow$  y = e⁰ – a(0) = 1

نقطة تقاطع منحنى الاقتران مع المحور y هي: (0, 1)

$\frac{dy}{dx}= e^x - a$

ميل المماس عند هذه النقطة هو:

${\left.\frac{dy}{dx}\right|}_{x=0}$ = e⁰ - a = 1 - a

معادلة المماس هي:

y – 1 = (1 – a) (x – 0)  $\Rightarrow$  y = (1 – a)x + 1

(26) تحد: أثبت عدم وجود مماس ميله 2 للاقتران: y = 2e^x + 3x + 5x³.

ميل مماس المنحنى عند نقطة عليه هو y’ = 2e^x + 3 + 15x²

لكل x فإن 2e^x > 0

ولكل x فإن 15x² $\ge$ 0

وبالجمع نجد أنه لكل x فإن 2e^x + 15x² > 0

وبإضافة 3 للطرفين: لكل x فإن 2e^x + 15x² + 3 > 3 أي أن y’ > 3

إذن لا يمكن أن تكون قيمة y’ تساوي 2 لأي قيمة حقيقية للمتغير x .

تبرير: إذا كان الاقتران: y = ke^x، حيث: k > 0، وكان منحناه يقطع المحور y عند النقطة P، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(27) أجد نقطة تقاطع مماس منحنى الاقتران عند النقطة P مع المحور x.

الإحداثي x لنقطة تقاطع المنحنى y = ke^x مع المحور y هو 0 .

وبالتعويض في معادلة الاقتران نجد أن y = ke⁰ = k ، أي أن إحداثيي P هما (0, k).

$\frac{dy}{dx}={\left.k{e}^x\Rightarrow \frac{dy}{dx}\right|}_{x=0}=k{e}^0=k$

معادلة المماس هي:

y – k = k(x – 0)  $\Rightarrow$  y = kx + k

ولأيجاد نقطة تقاطعه مع المحور x نعوض y = 0

0 = kx + k  $\Rightarrow$  x = -1

إذن، نقطة تقاطع المماس عند P مع المحور x هي: (-1, 0).

(28) إذا كان العمودي على المماس عند النقطة P يقطع المحور x عند النقطة (100, 0)، فأجد قيمة k .

ميل العمودي على المماس عند النقطة P هو $\frac{1}{k}$-

معادلة العمودي على المماس هي:

y – k = -$\frac{1}{k}$(x – 0)  $\Rightarrow$  y = -$\frac{1}{k}$x + k

وبتعويض إحداثيي نقطة التقاطع نجد أن:

0 = -$\frac{1}{k}$(100) + k  $\Rightarrow$  k² = 100  $\Rightarrow$ k = $\pm$10

ولأن: k > 0 ، فإن k = 10

تحد: إذا كان الاقترانy = log x ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

(29) أثبت أن $\frac{dy}{dx}$= $\frac{1}{x \ln 10}$

y = log x = log₁₀ x = $\frac{ln x}{ln 10}$ = $\frac{1}{ln 10}$lnx

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ln 10}\times \frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln 10}$

(30) معتمداً على النتيجة من السؤال السابق، أجد $\frac{dy}{dx}$ للاقتران: y = log ax²، حيث a عدد حقيقي موجب.

y = log ax² = log a = log a + 2 log x

$\frac{dy}{dx}=0+2\times \frac{1}{xln10}=\frac{2}{xln10}$

تبرير: يُمثل الاقتران: t > 0 ,t) = 4 - sin t)s موقع جُسيم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(31) أجد سرعة الجُسيم وتسارعه بعد 1 ثانية.

s(t) = 4 – sin t

v(t) = - cos t

a(t) = sin t

(32) أجد موقع الجُسيم عندما كان في حالة سكون لحظي أول مرة بعد انطلاقه.

$v\left(t\right)=-\cos t=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\dots$

يكون الجسيم في حالة سكون لحظي لأول مرة بعد انطلاقه عندما $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ t =

ويكون موقعه عندها هو s($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$)

$s\left(\frac{\pi }{2}\right)=4-sin\frac{\pi }{2}=4-1=3\mathrm{m}$

(33) أجد موقع الجُسيم عندما يكون تسارعه صفرًا، مبررًا إجابتي.

a(t) = v’(t) = sin t  $\Rightarrow$ a(t) = 0  $\Rightarrow$ sin t = 0

وبتعويض هذه النتيجة في اقتران الموقع نجد أن:

s(t) = 4 – sin t = 4 – 0 = 4

أي أن الجسيم يكون عند s = 4 m عندما تسارعه صفراً.