أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

مشتقة اقترانات خاصة

الاتصال والاشتقاق

أتحقق من فهمي صفحة 10

يبين الشكل الآتي منحنى الاقتران f(x) . أحدّد قيم x للنقاط التي يكون عندها الاقتران f(x)  غير قابل للاشتقاق، مبرراً إجابتي.

الاقتران f غير قابل للاشتقاق عندما:

x = x2  ,  x = x4  ,  x = x5

لأن لمنحناه رأس حادّ أو زاوية عند هذه النقاط.

الاقتران f غير قابل للاشتقاق عندما:

x = x7  ,  x = x8

لأنه غير متصل عندهما.


مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 12

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = 5ex + 3

f(x) = 5ex + 3

f (x) = 5ex

(b) f(x) = x - 4ex

f(x) = x - 4exx12 - 4ex

f (x) = 12 x-12 - 4ex12x - 4ex

(c) y = 8ex + 4x5

f(x) = 8ex + 4x5 = 8ex + 4x-15

f (x) = 8ex - 45x-65 = 8ex - 45x65


مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 14

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = x + ln (4x)

f(x) = x + ln (4x) = x12 + ln 4 + ln x

f (x) = 12x-121x12x + 1x

(b) f(x) = ln (2x3)

f(x) = ln (2x3) = ln 2 + 3 ln x

f (x) = 3x


مشتقة اقتران الجيب، ومشتقة اقتران جيب التمام

أتحقق من فهمي صفحة 16

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) y = sin x2 + 3 cos x

y = sin x2 + 3 cos x = 12 sin x + 3 cos x

 dydx = 12 cos x – 3 sin x

(b) f(x) = x2 + cos x + sin π2

f(x) =  x2 + cos x + sin π2

f (x) = 2x – sin x


تطبيقات: معادلة المماس والعمودي عند نقطة ما

أتحقق من فهمي صفحة 17

إذا كان الاقتران: xf(x) = ln  ، فأستعمل المشتقة لإيجاد كلّ ممّا يأتي:

(a) معادلة المماس عند النقطة (e, 12).

f(x) = ln x12 ln x    →    f (x) = 12x

ميل المماس عند النقطة (e, 12) هو:

f (e) = 12e

معادلة المماس عند النقطة (e, 12) هي:

y - 12e = 12 (xe)

y = 12e x

 

(b) معادلة العمودي على المماس عند النقطة (e, 12).

بما أن ميل المماس عند النقطة (e, 12) هو 12e ، إذن ميل العمودي على المماس عندها هو e-2e 

معادلة العمودي على المماس عند النقطة (e, 12) هي:

y - 12 = -2e (x - e)

y =  -2ex + 2e2 + 12


تطبيقات: الحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة 20

يمثل الاقتران: s(t) = t2 – 7t + 8, t  0  موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار و t الزمن بالثواني:

(a) أجد سرعة الجسم المتجهة وتسارعه عندما t = 4 .

s(t) = t2 – 7t + 8

v(t) = 2t – 7  →   v(4) = 1 m/s

a(t) = 2   →  a(4) = 2 m/s2

 

(b) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

v(t) = 2t – 7 = 0   →   t = 72 s

 

(c) في أيّ اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 2 ؟

v(2) = -3 m/s

بما أن إشارة المتجهة سالبة، فإن الجسم يتحرك لليسار عندما t = 2

 

(d) متى يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي؟

الموقع الابتدائي للجسم:

s(t) = 8   →   t2 – 7t + 8 = 8   →   t2 – 7t = 0

t(t – 7) = 0   →   t = 0  or  t = 7

إذن يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي عندما  t = 7 s


تطبيقات: الحركة التوافقية البسيطة

أتحقق من فهمي صفحة 22

يتحرك جسم معلق بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل، ويمثل الاقتران:s(t) = 7 sin t  موقع الجسم عند أيّ زمن لاحق، حيث t الزمن بالثواني و s الموقع بالأمتار:

(a) أجد اقتراناً يمثل سرعة الجسم المتجهة، واقتراناً آخر يمثل تسارعه عند أيّ لحظة.

s(t) = 7 sin t

v(t) = 7 cos t

a(t) = -7 sin t

 

(b) أصف حركة الجسم.

بالنظر لاقتران الموقع s(t) فإن قيم s تنحصر بين ±7 m وهذا يعني أن الجسم يتحرك بمرور الزمن صعوداً وهبوطاً بين الموقعين s = -7 m , s = 7 m ، ويمر بنقطة الاتزان s = 0 عند قيم t التي تحقق s(t) = 0 وهي t = nπs حيث n أي عدد صحيح غير سالب.

تتغير سرعة الجسم بمرور الزمن وتتراوح بين القيمتين ±7 m/s ويكون مقدار سرعة الجسم أكبر ما يمكن 7 cos t = 7 عندما cos t = ±1 وذلك عندما tnπ (نفسها لحظات مرور الجسم بنقطة الاتزان)، بينما تكون سرعة الجسم صفراً (يسكن لحظياً) عندما يكون الجسم في أقصى بعد له عن نقطة الاتزان → v(t) = 0  s(t) (اللحظات t = nπ2 حيث n عدد فردي موجب).

نلاحظ أن قيمة تسارع الجسم عند كل لحظة هي معكوس قيمة موقعه وأن التسارع ينعدم لحظة مرور الجسم بنقطة الاتزان، وهي اللحظة التي تكون محصلة القوى المؤثرة على الجسم فيها صفراً.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

30 / 08 / 2024

النقاشات