طباعة الدرس

أتحقق من فهمي

الضرب القياسي

الضرب القياسي للمتجهات في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (144):

أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين في كل مما يأتي:

$\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨4,8,-3⟩,\overrightarrow{\mathrm{w}}=⟨-3,7,2⟩$ (a)

$\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{w}}=4(-3)+8\left(7\right)-3\left(2\right)=-12+56-6=38$

$\overrightarrow{\mathrm{m}}=-3\hat{\mathrm{i}}+5\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}},\overrightarrow{\mathrm{n}}=-12\hat{\mathrm{i}}+6\hat{\mathrm{j}}-8\hat{\mathrm{k}}$ (b)

$\overrightarrow{\mathrm{m}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=-3(-12)+5\left(6\right)-1(-8)=36+30+8=74$

---

الزاوية بين متجهين في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (146):

أجد قياس الزاوية $\mathit{\theta }$ بين المتجه $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ والمتجه $\overrightarrow{\mathbf{W}}$ في كل مما يأتي، مقرباً الناتج إلى أقرب عشـر درجة:

$\overrightarrow{\mathrm{u}}=-3\hat{\mathrm{i}}+5\hat{\mathrm{j}}-4\hat{\mathrm{k}},\overrightarrow{\mathrm{w}}=4\hat{\mathrm{i}}+2\hat{\mathrm{j}}-3\hat{\mathrm{k}}$ (a)

$bbb\begin{array}{rl}& \left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{w}}\right|=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}\\ & \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{w}}=-3\left(4\right)+5\left(2\right)-4(-3)=-12+10+12=10\\ & \theta =co{s}^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{w}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{w}}\right|}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{50}\times \sqrt{29}}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{1450}}\right)\approx 74.8^{\circ }\end{array}$

$\overrightarrow{\mathrm{u}}=⟨2,-10,6⟩,\overrightarrow{\mathrm{w}}=⟨-3,15,-9⟩$ (b)

$\begin{array}{rl}& \left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{4+100+36}=\sqrt{140}\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{w}}\right|=\sqrt{9+225+81}=\sqrt{315}\\ & \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{w}}=2(-3)-10\left(15\right)+6\left(9\right)=-6-150-54=-210\\ & \begin{array}{rl}\theta =co{s}^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{w}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{w}}\right|}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{-210}{\sqrt{140}\times \sqrt{315}}\right)& =co{s}^{-1}\left(\frac{-210}{\sqrt{44100}}\right)\\ & =co{s}^{-1}(-1)={180}^{\circ }\end{array}\end{array}$

---

الزاوية بين مستقيمين في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (147):

إذا كانت: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ معادلة متجهة للمستقيم $l_1$، وكانت: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\left(\begin{array}{l}5\\ 3\\ 0\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ معادلة متجهة للمستقيم $l_2$، فأجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيم $l_1$ والمستقيم $l_2$ إلى أقرب درجة. 

اتجاه المستقيم $l_1$ هو $\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨2,-5,-1⟩$ واتجاه المستقيم $l_2$ هو $\overrightarrow{\mathrm{u}}=⟨1,0,-3⟩$

$\begin{array}{rl}& \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{1+0+9}=\sqrt{10}\\ & \overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{u}}=1\left(2\right)+0(-5)-3(-1)=2+3=5\\ & \theta =co{s}^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{10}\times \sqrt{30}}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{300}}\right)\approx {73}^{\circ }\end{array}$

إذن، قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين $l_2,l_1$ هو ${73}^{\circ }$ تقريباً.

---

إيجاد مساحة المثلث باستعمال المتجهات

أتحقق من فهمي صفحة (149):

أجد مساحة المثلث EFG الذي إحداثيات رؤوسه هي:

$E(2,1,-1),F(5,1,7),G(6,-3,1)$.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{GF}=⟨-1,4,6⟩\\ & \left|\overrightarrow{GF}\right|=\sqrt{1+16+36}=\sqrt{53}\\ & \overrightarrow{GE}=⟨-4,4,-2⟩\\ & \left|\overrightarrow{GE}\right|=\sqrt{16+16+4}=6\\ & \overrightarrow{GF}\cdot \overrightarrow{GE}=-1(-4)+4\left(4\right)+6(-2)=4+16-12=8\end{array}$

ليكن قياس الزاوية $\mathrm{EGF}$ هو $\theta$، إذن:

$\begin{array}{rl}& \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{GF}\cdot \overrightarrow{GE}}{\left|\overrightarrow{GF}\right|\left|\overrightarrow{GE}\right|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{8}{6\sqrt{53}}\right)\approx {79.4}^{\circ }\\ & A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{GF}\right|\times \left|\overrightarrow{GE}\right|\sin \theta \approx \frac{1}{2}\times 6\sqrt{53}\sin {79.4}^{\circ }\approx 21.5\end{array}$

ويمكن إيجاد $\sin \theta$ من معرفتنا بقيمة $\cos \theta$ من دون أيجاد زاوية $\theta$ كما يأتي:

$\begin{array}{rl}& \cos \theta =\frac{4}{3\sqrt{53}}\Rightarrow \sin \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{4}{3\sqrt{53}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{477-16}{477}}=\frac{\sqrt{461}}{3\sqrt{53}}\\ & \Rightarrow A=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{53}\times \frac{\sqrt{461}}{3\sqrt{53}}=\sqrt{461}\approx 21.5\end{array}$

---

مسقط العمود على مستقيم من نقطة خارجه

أتحقق من فهمي صفحة (151):

إذا كانت: $\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{=}\mathbf{16}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{11}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{3}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{+}\mathit{t}\mathbf{(}\mathbf{5}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{7}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{3}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{)}$ معادلة متجهة للمستقيم $\mathit{l}$، والنقطة $\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{,}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{3}}\mathbf{)}$ غير واقعة على المستقيم $\mathit{l}$، فأجيب عن السؤالين الآتيين:

(a) أحدد مسقط العمود من النقطة P على المستقيم $l$. 

اتجاه المستقيم $l$ المعطى هو: $\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨5,7,-3⟩$

افرض أن مسقط النقطة $P$ على $l$ النقطة $F$، فيكون متجه موقعها هو:

$\overrightarrow{OF}=(16+5t)\hat{ı}+(11+7t)\hat{ȷ}-(3+3t)\hat{k}$ 

ويكون العمود من $P$ على $l$ هو $\overline{PF}$ حيث:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=(16+5t)\hat{1}+(11+7t)\hat{ȷ}-(3+3t)\hat{\mathrm{k}}-(2\hat{\mathrm{i}}+\frac{10}{3}\hat{\mathrm{k}})\\ & \overrightarrow{PF}=(14+5t)\hat{\mathrm{i}}+(11+7t)\hat{ȷ}-(\frac{19}{3}+3t)\hat{\mathrm{k}}\end{array}$

ولأن المتجهين $\overrightarrow{\mathrm{v}},\overrightarrow{PF}$ متعامدان فإن $\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=0$ 

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 5(14+5t)+7(11+7t)-3(-\frac{19}{3}-3t)=0\Rightarrow t=-2\\ & \Rightarrow \overrightarrow{OF}=(16+5(-2\left)\right)\hat{\mathrm{i}}+(11+7(-2\left)\right)\hat{\mathrm{j}}-(3+3(-2\left)\right)\hat{\mathrm{k}}=6\hat{\mathrm{i}}-3\hat{\mathrm{j}}+3\hat{\mathrm{k}}\end{array}$

إذن مسقط العمود من النقطة $P$ على المستقيم $l$ هو النقطة $F(6,-3,3)$

(b) أجد البعد بين النقطة P والمستقيم $l$.

$PF=\sqrt{(6-2{)}^2+(-3-0{)}^2+{(3-\frac{10}{3})}^2}=\frac{\sqrt{226}}{3}$

---

استعمال المتجهات لتحديد قياسات في أشكال ثلاثية الأبعاد

أتحقق من فهمي صفحة (154):

(a) أجد قياس $\mathrm{\angle }EDB$ في الهرم المبين في المثال السابق.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{DE}=⟨7,8,2⟩\\ & \left|\overrightarrow{DE}\right|=\sqrt{49+64+4}=\sqrt{117}\\ & \overrightarrow{DB}=⟨8,4,-8⟩\\ & \left|\overrightarrow{DB}\right|=\sqrt{64+16+64}=12\\ & \overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DB}=7\left(8\right)+8\left(4\right)+2(-8)=72\\ & \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DB}}{\left|\overrightarrow{DE}\right|\left|\overrightarrow{DB}\right|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{72}{12\sqrt{117}}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{6}{\sqrt{117}}\right)\approx {56.3}^{\circ }\end{array}$

(b) أجد حجم الهرم.

$AB=\sqrt{8^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{72}$

ارتفاع الهرم هو طول العمود المرسوم من الرأس $E$ إلى قاعدته وهو $EM$، حيث $M$ هي نقطة منتصف أحد قطري الفاعدة المربعة: $M=(\frac{1+9}{2},\frac{1-7}{2},\frac{-1+3}{2})=(5,-3,1)$

$EM=\sqrt{(-3{)}^2+(-6{)}^2+(-6{)}^2}=9$

حجم الهرم يساوي ثلث مساحة قاعدته في ارتفاعه.

$V=\frac{1}{3}\left(\sqrt{72}{)}^2\right(9)=72(3)=216$

إذن، حجم الهرم يساوي 216 وحدة مربعة.