أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

التكامل بالكسور الجزئية

عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة

أتحقق من فهمي صفحة (49):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{x - 7}{x^{2} - x - 6} d x$ (a)

$\begin{aligned} \frac{x - 7}{x^{2} - x - 6} = \frac{x - 7}{(x - 3) (x + 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} \\ \Rightarrow x - 7 = A (x + 2) + B (x - 3) \\ x = 3 \Rightarrow A = - \frac{4}{5} \\ x = - 2 \Rightarrow B = \frac{9}{5} \\ \int \frac{x - 7}{x^{2} - x - 6} d x = \int (\frac{- \frac{4}{5}}{x - 3} + \frac{\frac{9}{5}}{x + 2}) d x \\ = - \frac{4}{5} \ln | x - 3 | + \frac{9}{5} \ln | x + 2 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{3 x - 1}{x^{2} - 1} d x$ (b)

$\begin{aligned} \frac{3 x - 1}{x^{2} - 1} = \frac{3 x - 1}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \\ \Rightarrow 3 x - 1 = A (x + 1) + B (x - 1) \\ x = 1 \Rightarrow A = 1 \\ x = - 1 \Rightarrow B = 2 \\ \int \frac{3 x - 1}{x^{2} - 1} d x = \int (\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}) d x \\ = \ln | x - 1 | + 2 \ln | x + 1 | + C \end{aligned}$

عوامل المقام كثيرات حدود خطية، أحدها مكرر

أتحقق من فهمي صفحة (51):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{x + 4}{(2 x - 1) (x - 1)^{2}} d x$ (a)

$\begin{aligned} \frac{x + 4}{(2 x - 1) (x - 1)^{2}} = \frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^{2}} \\ \Rightarrow x + 4 = A (x - 1)^{2} + B (2 x - 1) (x - 1) + C (2 x - 1) \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow A = 18 \\ x = 1 \Rightarrow C = 5 \\ x = 0 \Rightarrow 4 = A + B - C \Rightarrow B = - 9 \\ \int \frac{x + 4}{(2 x - 1) (x - 1)^{2}} d x = \int (\frac{18}{2 x - 1} + \frac{- 9}{x - 1} + \frac{5}{(x - 1)^{2}}) d x \\ = \frac{18}{2} \ln | 2 x - 1 | - 9 \ln | x - 1 | - \frac{5}{x - 1} + C \\ = 9 \ln | 2 x - 1 | - 9 \ln | x - 1 | - \frac{5}{x - 1} + C \end{aligned}$

$\int \frac{x^{2} - 2 x - 4}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x} d x$ (b)

$\begin{aligned} \frac{x^{2} - 2 x - 4}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x} = \frac{x^{2} - 2 x - 4}{x (x - 2)^{2}} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^{2}} + \frac{C}{x} \\ \Rightarrow x^{2} - 2 x - 4 = A x (x - 2) + B x + C (x - 2)^{2} \\ x = 2 \Rightarrow B = - 2 \\ x = 0 \Rightarrow C = - 1 \\ x = 1 \Rightarrow - 5 = - A + B + C \Rightarrow A = 2 \\ \int \frac{x^{2} - 2 x - 4}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x} d x = \int (\frac{2}{x - 2} + \frac{- 2}{(x - 2)^{2}} + \frac{- 1}{x}) d x \\ = 2 \ln | x - 2 | + \frac{2}{x + 2} - \ln | x | + C \end{aligned}$

عوامل المقام كثيرات حدود، أحدها تربيعي غير قابل للتحليل، وغير مكرر

أتحقق من فهمي صفحة (52):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{3 x + 4}{(x - 3) (x^{2} + 4)} d x$ (a)

$\begin{aligned} \frac{3 x + 4}{(x - 3) (x^{2} + 4)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4} \\ \Rightarrow 3 x + 4 = A (x^{2} + 4) + (B x + C) (x - 3) \\ x = 3 \Rightarrow A = 1 \\ x = 0 \Rightarrow 4 = 4 A - 3 C \Rightarrow C = 0 \\ \begin{aligned} x = 1 \Rightarrow 7 = 5 A - 2 B - 2 C \Rightarrow B = - 1 \end{aligned} \\ \begin{aligned} \int \frac{3 x + 4}{(x - 3) (x^{2} + 4)} d x & = \int (\frac{1}{x - 3} - \frac{x}{x^{2} + 4}) d x \\ = \int (\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{2} \times \frac{2 x}{x^{2} + 4}) d x \\ = \ln | x - 3 | - \frac{1}{2} \ln | x^{2} + 4 | + C \end{aligned} \end{aligned}$

$\int \frac{7 x^{2} - x + 1}{x^{3} + 1} d x$ (b)

$\begin{aligned} \frac{7 x^{2} - x + 1}{x^{3} + 1} = \frac{7 x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1} \\ \Rightarrow 7 x^{2} - x + 1 = A (x^{2} - x + 1) + (B x + C) (x + 1) \\ x = - 1 \Rightarrow A = 3 \\ x = 0 \Rightarrow 1 = A + C \Rightarrow C = - 2 \\ x = 1 \Rightarrow 7 = A + 2 B + 2 C \Rightarrow B = 4 \\ \begin{aligned} \int \frac{7 x^{2} - x + 1}{x^{3} + 1} d x & = \int (\frac{3}{x + 1} + \frac{4 x - 2}{x^{2} - x + 1}) d x \\ = \int (\frac{3}{x + 1} + 2 \times \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1}) d x \\ = 3 \ln | x + 1 | + 2 \ln | x^{2} - x + 1 | + C \end{aligned} \end{aligned}$

درجة كثيرة الحدود في البيسط مساوية لدرجة كثيرة الحدود في المقام، أو أكبر منها

أتحقق من فهمي صفحة (53):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{4 x^{3} - 5}{2 x^{2} - x - 1} d x$ (a)

$\begin{aligned} \int \frac{4 x^{3} - 5}{2 x^{2} - x - 1} d x = \int (2 x + 1 + \frac{3 x - 4}{2 x^{2} - x - 1}) d x \\ \frac{3 x - 4}{2 x^{2} - x - 1} = \frac{3 x - 4}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1} \\ \Rightarrow 3 x - 4 = A (x - 1) + B (2 x + 1) \\ x = - \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{11}{3} \\ x = 1 \Rightarrow B = - \frac{1}{3} \\ \int \frac{4 x^{3} - 5}{2 x^{2} - x - 1} d x = \int (2 x + 1 + \frac{\frac{11}{3}}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{3}}{x - 1}) d x \\ = x^{2} + x + \frac{11}{6} \ln | 2 x + 1 | - \frac{1}{3} \ln | x - 1 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} - x} d x$ (b)

$\begin{aligned} \int \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} - x} d x & = \int (1 + \frac{2 x - 1}{x^{2} - x}) d x \\ = x + \ln | x^{2} - x | + C \end{aligned}$

التكامل بالكسور الجزئية لتكاملات محدودة

أتحقق من فهمي صفحة (54):

أجد كل قيمة من التكاملين الآتيين:

$\int_{3}^{4} \frac{2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} - 4} d x$ (a)

$\begin{aligned} \int_{3}^{4} \frac{2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} - 4} d x & = \int_{3}^{4} (2 x + 1 + \frac{6 x}{x^{2} - 4}) d x \\ = {(x^{2} + x + 3 \ln | x^{2} - 4 |) |}_{3}^{4} \\ = (20 + 3 \ln 12) - (12 + 3 \ln 5) \\ = 8 + 3 \ln \frac{12}{5} \end{aligned}$

$\int_{5}^{6} \frac{3 x - 10}{x^{2} - 7 x + 12} d x$ (b)

$\begin{aligned} \frac{3 x - 10}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{3 x - 10}{(x - 3) (x - 4)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 4} \\ \Rightarrow 3 x - 10 = A (x - 4) + B (x - 3) \\ x = 3 \Rightarrow A = 1 \\ \begin{aligned} x = 4 \Rightarrow B = 2 \end{aligned} \\ \begin{aligned} \int_{5}^{6} \frac{3 x - 10}{x^{2} - 7 x + 12} d x & = \int_{5}^{6} (\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x - 4}) d x \\ = {(\ln | x - 3 | + 2 \ln | x - 4 |) |}_{5}^{6} \\ = \ln 3 + 2 \ln 2 - (\ln 2 + 2 \ln 1) \\ = \ln 3 + \ln 2 = \ln 6 \end{aligned} \end{aligned}$

التكامل بالكسور الجزئية، والتكامل بالتعويض

أتحقق من فهمي صفحة (57):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{\sec^{2} x}{\tan^{2} x - 1} d x$ (a)

$\begin{aligned} u = \tan x \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \sec^{2} x ⟹ d x = \frac{d u}{\sec^{2} x} \\ \int \frac{\sec^{2} x}{\tan^{2} x - 1} d x = \int \frac{\sec^{2} x}{u^{2} - 1} \frac{d u}{\sec^{2} x} = \int \frac{1}{u^{2} - 1} d u \\ \frac{1}{u^{2} - 1} = \frac{1}{(u - 1) (u + 1)} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 1} \\ \Rightarrow 1 = A (u + 1) + B (u - 1) \\ u = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \\ u = - 1 \Rightarrow B = - \frac{1}{2} \\ \int \frac{1}{u^{2} - 1} d u = \int (\frac{\frac{1}{2}}{u - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{u + 1}) d u \\ = \frac{1}{2} \ln | u - 1 | - \frac{1}{2} \ln | u + 1 | + C = \frac{1}{2} \ln | \frac{u - 1}{u + 1} | + C \\ \Rightarrow \int \frac{\sec^{2} x}{\tan^{2} x - 1} d x = \frac{1}{2} \ln | \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} | + C \end{aligned}$

$\int \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1) (e^{x} + 4)} d x$ (b)

$\begin{aligned} u = e^{x} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = e^{x} \Rightarrow d x = \frac{d u}{e^{x}} \\ \int \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1) (e^{x} + 4)} d x = \int \frac{e^{x}}{(u - 1) (u + 4)} \frac{d u}{e^{x}} \\ = \int \frac{1}{(u - 1) (u + 4)} d u \\ \frac{1}{(u - 1) (u + 4)} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 4} \\ \Rightarrow 1 = A (u + 4) + B (u - 1) + \\ u = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5} \\ u = - 4 \Rightarrow B = - \frac{1}{5} \\ \int \frac{1}{(u - 1) (u + 4)} d u = \int (\frac{\frac{1}{5}}{u - 1} + \frac{- \frac{1}{5}}{u + 4}) d u \\ = \frac{1}{5} \ln | u - 1 | - \frac{1}{5} \ln | u + 4 | + C = \frac{1}{5} \ln | \frac{u - 1}{u + 4} | + C \\ \Rightarrow \int \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1) (e^{x} + 4)} d x = \frac{1}{5} \ln | \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 4} | + C \end{aligned}$