أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

العمليات على الأعداد المركبة

جمع الأعداد المركبة وطرحها

أتحقق من فهمي صفحة 156

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي:

(a) (7 + 8i) + (-9 + 14i)

$(7 + 8 i) + (- 9 + 14 i) = - 2 + 22 i$

(b) (11 + 9i) - (4 - 6i)

$(11 + 9 i) - (4 - 6 i) = 7 + 15 i$

ضرب الأعداد المركبة

أتحقق من فهمي صفحة 157

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي، ثم أكتبه بالصورة القياسية:

(a) -3i(4 – 5i)

$- 3 i (4 - 5 i) = - 12 i + 15 i^{2} = - 15 - 12 i$

(b) (5 + 4i) (7 – 4i)

$(5 + 4 i) (7 - 4 i) = 35 - 20 i + 28 i - 16 i^{2} = 35 + 8 i + 16 = 51 + 8 i$

(c) (3 + 6i)2

$(3 + 6 i)^{2} = 9 + 36 i + 36 i^{2} = 9 + 36 i - 36 = - 27 + 36 i$

قسمة الأعداد المركبة

أتحقق من فهمي صفحة 158

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي، ثم أكتبه بالصورة القياسية:

(a) $\frac{- 4 + 3 i}{1 + i}$

$\begin{aligned} \frac{- 4 + 3 i}{1 + i} & = \frac{- 4 + 3 i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} \\ = \frac{- 4 + 4 i + 3 i - 3 i^{2}}{1 - i^{2}} \\ = \frac{- 4 + 7 i + 3}{1 + 1} \\ = \frac{- 1 + 7 i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i \end{aligned}$

(b) $\frac{2 - 6 i}{- 3 i}$

$\begin{aligned} \frac{2 - 6 i}{- 3 i} = & \frac{2 - 6 i}{- 3 i} \times \frac{i}{i} \\ = \frac{2 i - 6 i^{2}}{- 3 i^{2}} \\ = \frac{2 i + 6}{3} = 2 + \frac{2}{3} i \end{aligned}$

(c) $\frac{7 i}{4 - 4 i}$

$\begin{aligned} \frac{7 i}{4 - 4 i} = \frac{7 i}{4 - 4 i} \times \frac{4 + 4 i}{4 + 4 i} \\ = \frac{28 i + 28 i^{2}}{16 - 16 i^{2}} \\ = \frac{28 i - 28}{16 + 16} \\ = \frac{28 i - 28}{32} = - \frac{7}{8} + \frac{7}{8} i \end{aligned}$

ضرب الأعداد المركبة المكتوبة بالصورة المثلثية وقسمتها

أتحقق من فهمي صفحة 160

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي بالصورة المثلثية:

(a) $6 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \times 2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$

$\begin{aligned} 6 (c o s \frac{π}{3} + i s i n \frac{π}{3}) \times 2 (c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6}) \\ = 6 \times 2 (c o s (\frac{π}{3} + \frac{π}{6}) + i s i n (\frac{π}{3} + \frac{π}{6})) = 12 (c o s \frac{π}{2} + i s i n \frac{π}{2}) \end{aligned}$

(b) $6 (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (- \frac{π}{3})) \div 2 (\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6})$

$\begin{aligned} 6 (c o s (- \frac{π}{3}) + i s i n (- \frac{π}{3})) \div 2 (c o s \frac{5 π}{6} + i s i n \frac{5 π}{6}) \\ = \frac{6}{2} (c o s (- \frac{π}{3} - \frac{5 π}{6}) + i s i n (- \frac{π}{3} - \frac{5 π}{6})) \\ = 3 (c o s (- \frac{7 π}{6}) + i s i n (- \frac{7 π}{6})) \\ = 3 (c o s (- \frac{7 π}{6} + 2 π) + i s i n (- \frac{7 π}{6} + 2 π)) \\ = 3 (c o s \frac{5 π}{6} + i s i n \frac{5 π}{6}) \end{aligned}$

الجذر التربيعي للعدد المركب

أتحقق من فهمي صفحة 161

أجد الجذرين التربيعيين لكل من الأعداد المركبة الآتية:

(a) -5 – 12i

$\begin{aligned} \sqrt{- 5 - 12 i} = x + i y \to - 5 - 12 i = x^{2} + 2 i x y + i^{2} y^{2} \\ \to - 5 - 12 i = x^{2} - y^{2} + 2 i x y \\ \to - 5 = x^{2} - y^{2}, - 12 = 2 x y \\ y = - \frac{6}{x} \\ x^{2} - y^{2} = - 5 \to x^{2} - \frac{36}{x^{2}} = - 5 \\ \to x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0 \\ \to (x^{2} + 9) (x^{2} - 4) = 0 \to x = \pm 2 \end{aligned}$

عندما x = 2 ، فإن y = -3 ، وعندما x = -2 ، فإن y = 3 .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب -5 – 12i هما: 2 – 3i , -2 + 3i

(b) -9i

$\begin{aligned} \sqrt{- 9 i} = x + i y \to - 9 i = x^{2} + 2 i x y + i^{2} y^{2} \\ \to - 9 i = x^{2} - y^{2} + 2 i x y \\ \to 0 = x^{2} - y^{2}, - 9 = 2 x y \\ y = - \frac{9}{2 x} \\ x^{2} - y^{2} = 0 \to x^{2} - \frac{81}{4 x^{2}} = 0 \\ \to 4 x^{4} - 81 = 0 \\ \to (2 x^{2} + 9) (2 x^{2} - 9) = 0 \to x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

عندما x = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ، فإن y = - $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ، وعندما x = - $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ، فإن y = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب - 9i هما: $\frac{3}{\sqrt{2}}$ – $\frac{3}{\sqrt{2}}$ i , - $\frac{3}{\sqrt{2}}$ + $\frac{3}{\sqrt{2}}$ i

(c) $- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{aligned} \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}} i = x + i y \to - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = x^{2} + 2 i x y + i^{2} y^{2} \\ \to - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = x^{2} - y^{2} + 2 i x y \\ \to - \frac{1}{2} = x^{2} - y^{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 x y \\ y = \frac{\sqrt{3}}{4 x} \\ x^{2} - y^{2} = - \frac{1}{2} \to x^{2} - \frac{3}{16 x^{2}} = - \frac{1}{2} \\ \to 16 x^{4} + 8 x^{2} - 3 = 0 \\ \to (4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3) = 0 \to x = \pm \frac{1}{2} \end{aligned}$

عندما x = $\frac{1}{2}$ ، فإن y = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ، وعندما x = - $\frac{1}{2}$ ، فإن y = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب -5 - 12i هما: $\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i , - $\frac{1}{2}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i

الجذور المركبة لمعادلات كثيرات الحدود

أتحقق من فهمي صفحة 165

أجد جميع الجذور الحقيقية والجذور المركبة للمعادلة: z³– z² – 7z + 15 = 0

عوامل الحد الثابت هي: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

بالتعويض، نجد أن العدد -3 يحقق المعادلة؛ لأن: (-3)³ – (-3)² – 7(-3) + 15 = 0

إذن (z + 3) هو أحد عوامل كثير الحدود، نجري عملية القسمة، فنجد أنّ:

$\begin{aligned} z^{3} - z^{2} - 7 z + 15 = (z + 3) (z^{2} - 4 z + 5) = 0 \\ z = - 3, z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = 2 \pm i \end{aligned}$

إذن لهذه المعادلة ثلاثة جذور هي:

إذن لهذه المعادلة ثلاثة جذور هي: -3 , 2 + i , 2 - i

أتحقق من فهمي صفحة 165

إذا كان: 2 - i هو أحد جذور المعادلة: x² + ax + b = 0، فأجد قيمة كل من a و b .

$\begin{aligned} x = 2 \pm i \\ x - 2 = \pm i \\ (x - 2)^{2} = - 1 \\ x^{2} - 4 x + 4 = - 1 \\ x^{2} - 4 x + 5 = 0 \end{aligned}$

بمقارنة هذه المعادلة مع المعادلة المعطاة (x² + ax + b = 0) نجد أنّ: a = -4 , b = 5