أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

تطبيقات القيم القصوى

تصنيف القيم الحرجة باستعمال اختبار المشتقة الثانية

أتحقق من فهمي صفحة (108)

إذا كان: f(x) = x³ – 2x² – 4x + 5 ، فاستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للاقتران f .

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \\ 3 x^{2} - 4 x - 4 = 0 \\ (3 x + 2) (x - 2) = 0 \\ x = - \frac{2}{3} or x = 2 \end{aligned}$

القيم الحرجة هي: x = 2 و $\frac{2}{3}$ - = x

$\begin{aligned} f^{''} (x) = 6 x - 4 \\ f^{''} (- \frac{2}{3}) = 6 (- \frac{2}{3}) - 4 = - 8 < 0 \\ f^{''} (2) = 6 (2) - 4 = 8 > 0 \end{aligned}$

إذن توجد قيمة عظمى محلية عندما: $\frac{2}{3}$ - = x

وهي:

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} + 5 = \frac{175}{27}$

إذن توجد قيمة عظمى محلية عندما: x = 2

وهي:

$f (2) = 8 - 2 (4) - 4 (2) + 5$

إيجاد أكبر مساحة ممكنة

أتحقق من فهمي صفحة (110)

بنى نجار سقفاً خشبياً لحظيرة حيوانات. وكان السقف على شكل مستطيل محيطه 54 m . أجد أكبر مساحة ممكنة لسطح الحظيرة.

مساحة المستطيل:

A = xy

محيط المستطيل:

P = 2x + 2y

$\begin{aligned} 54 = 2 x + 2 y \\ 27 = x + y \to y = 27 - x \\ A = x y \\ A (x) = x (27 - x) \\ = 27 x - x^{2} \\ A^{'} (x) = 27 - 2 x \\ 27 - 2 x = 0 \to x = \frac{27}{2} \end{aligned}$

توجد قيمة حرجة هي: $\frac{27}{2}$ x =

$A^{''} (x) = - 2 \to A^{''} (\frac{27}{2}) = - 2 < 0$

إذن توجد قيمة عظمى محلية عندما $\frac{27}{2}$ x = وتكون أكبر مساحة ممكنة لسطح الحظيرة هي:

$A (\frac{27}{2}) = \frac{729}{4} = 182 .25 m^{2}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025