إجابات كتاب التمارين

التكامل بالتعويض

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(1) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} dx$

$\begin{array}{rl}& u=x^2+4\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & \int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int \frac{x}{\sqrt{u}}\frac{du}{2x}=\int \frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}du=u^{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{x^2+4}+C\end{array}$

(2) $\int {(1-\cos \frac{x}{2})}^2\sin \frac{x}{2} dx$

$\begin{array}{rl}& u=1-cos\frac{x}{2}\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}\Rightarrow dx=\frac{2}{sin\frac{x}{2}}du\\ & \int {(1-cos\frac{x}{2})}^{2}sin\frac{x}{2}dx=\int u^{2}sin\frac{x}{2}\frac{2}{sin\frac{x}{2}}du=\int 2u^{2}du=\frac{2}{3}{u}^3+C\\ & =\frac{2}{3}{(1-cos\frac{x}{2})}^3+C\end{array}$

(3) $\int {\csc }^5 x{\cos }^3 x dx$

$\begin{array}{rl}& \int cs{c}^{5}xco{s}^{3}xdx=\int \frac{co{s}^3}{si{n}^{5}x}xdx=\int co{t}^{3}xcs{c}^{2}xdx\\ & \begin{array}{rl}u=cotx\Rightarrow \frac{du}{dx}& =-cs{c}^{2}x\Rightarrow dx=\frac{du}{-cs{c}^{2}x}\\ \int cs{c}^{5}xco{s}^{3}xdx& =\int co{t}^{3}xcs{c}^{2}xdx\\ & =\int u^{3}cs{c}^2\frac{du}{-cs{c}^{2}x}=\int -u^{3}du=-\frac{1}{4}{u}^4+C\end{array}\\ & =-\frac{1}{4}co{t}^{4}x+C\end{array}$

(4) $\int x\sin x^2 dx$

$\begin{array}{rl}& u=x^2\Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & \int xsin{x}^{2}dx=\int \frac{1}{2}sinudu=-\frac{1}{2}cosu+C=-\frac{1}{2}cos{x}^2+C\end{array}$

(5) $\int x^3(x+2{)}^{7 }dx$

$\begin{array}{rl}& u=x+2\Rightarrow dx=du,x=u-2\\ & \begin{array}{c}\int x^3(x+2{)}^{7}dx=\int (u-2{)}^3{u}^{7}du=\int (u^{10}-6u^9+12u^8-8u^7)du\\ =\frac{1}{11}{u}^{11}-\frac{3}{5}{u}^{10}+\frac{4}{3}{u}^9-u^8+C\\ =\frac{1}{11}(x+2{)}^{11}-\frac{3}{5}(x+2{)}^{10}+\frac{4}{3}(x+2{)}^9-(x+2{)}^8+C\end{array}\end{array}$

(6) $\int \frac{\ln \sqrt{x}}{x} dx$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{ln\sqrt{x}}{x}dx=\int \frac{\frac{1}{2}lnx}{x}dx\\ & u=lnx\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\Rightarrow dx=xdu\\ & \int \frac{ln\sqrt{x}}{x}dx=\int \frac{\frac{1}{2}lnx}{x}dx=\int \frac{1}{2}udu=\frac{1}{4}{u}^2+C=\frac{1}{4}(lnx{)}^2+C\end{array}$

(7) $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

$\begin{array}{rl}& u=\sqrt{x}\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow dx=2\sqrt{x}du\\ & \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{e^u}{\sqrt{x}}\times 2\sqrt{x}du=2\int e^{u}du=2e^u+C=2e^{\sqrt{x}}+C\end{array}$

(8) $\int \frac{\sin (\ln 4x^2)}{x} dx$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{sin(ln4x^2)}{x}dx=\int \frac{sin(2ln2x)}{x}dx\\ & \begin{array}{r}u=2ln2x\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{2}{x}\Rightarrow dx=\frac{x}{2}du\\ \int \frac{sin(ln4x^2)}{x}dx=\int \frac{sinu}{x}\times \frac{x}{2}du=\frac{1}{2}\int sinudu=-\frac{1}{2}cosu+C\\ =-\frac{1}{2}cos(2ln2x)+C=-\frac{1}{2}cos(ln4x^2)+C\end{array}\end{array}$

(9) $\int {\sec }^2 x {\cos }^3 (\tan x) dx$

$\begin{array}{rl}& u=tanx\Rightarrow \frac{du}{dx}=se{c}^{2}x\Rightarrow se{c}^{2}xdx=du\\ & \int se{c}^{2}xco{s}^3(tanx)dx=\int co{s}^{3}udu=\int cosuco{s}^{2}udu\\ & =\int cosu(1-si{n}^{2}u)du\\ & v=sinu\Rightarrow \frac{dv}{dx}=cosu\Rightarrow cosudx=dv\\ & \int cosu(1-si{n}^{2}u)du=\int (1-v^2)dv=v-\frac{1}{3}{v}^3+C\\ & =sinu-\frac{1}{3}si{n}^{3}u+C\\ & =sin(tanx)-\frac{1}{3}si{n}^3(tanx)+C\\ & \end{array}$

ملحوظة: يمكن إيجاد هذا التكامل بإعادة كتابته على الصورة:

$\int se{c}^2 xcos (tan x)(1-si{n}^2 (tan x\left)\right) dx$

وبتعويض واحد فقط هو u = sin (tan x) .

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

${\int }_6^{20}\frac{8x}{\sqrt{4x+1}}dx$ (10)

${\int }_2^5\frac{1}{1+\sqrt{x-1}}dx$ (11)

${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin 2x}{1+\cos x}dx$ (12)

${\int }_1^4\frac{(1+\sqrt{x}{)}^3}{\sqrt{x}}dx$ (13)

${\int }_0^{\pi /4}\frac{e^{\tan x}}{{\cos }^{2}x}dx$ (14)

${\int }_0^{\pi /3}{\cos }^{2}x{\sin }^{3}xdx$ (15)

(16) يبين الشكل المجاور جزءاً من منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x\sqrt{x+1}$.

أجد مساحة المنطقة المظللة في هذا الشكل.

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$، ونقطة يمر بها منحنى $\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$ أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=16\sin x{\cos }^{3}x;(\frac{\pi }{4},0)$ (17)

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}};(2,1)$ (18)

(19) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران:$v\left(t\right)=\frac{-2t}{{(1+t^2)}^{3/2}}$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و$v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو $4 m$، فأجد موقع الجسيم بعد $t$ ثانية.