قاعدة السلسلة، الرياضيات التوجيهي الأدبي

أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

قاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة (56)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) y = (x² – 2)⁴

u = x² – 2

y = u⁴

$\frac{d u}{d x}$ = 2x

$\frac{d y}{d u}$ = 4u³

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{d y}{d u}$ x $\frac{d u}{d x}$

= 4u³ x 2x

= 8xu³

= 8x (x² – 2)³

(b) y = $\sqrt{x^{3} + 4 x}$

y = ${(x^{3} + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$

u = x³ + 4x

y = $u^{\frac{1}{2}}$

$\frac{d u}{d x}$ = 3x² + 4

$\frac{d y}{d u}$ = $\frac{1}{2}$ $u^{- \frac{1}{2}}$

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{d y}{d u}$ x $\frac{d u}{d x}$

= $\frac{1}{2}$ $u^{- \frac{1}{2}}$ x (3x² + 4)

= $\frac{3 x^{2} + 4}{2 \sqrt{x^{3}} + 4 x}$

قاعدة سلسلة القوة

أتحقق من فهمي صفحة (58)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(a) f(x) = (x⁴ + 1)⁵ , x = 1

f ’(x) = 5 (x⁴ + 1)⁴ (4x³)

= 20x³ (x⁴ + 1)⁴

f ’(1) = 20 (1)³ ((1)⁴ + 1)⁴ = 20 x 16 = 320

(b) f(x) = $\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}$ , x = 2

f(x) = ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

f ’(x) = $\frac{1}{2}$ ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ (2x + 3)

f ’(x) = $\frac{1}{2}$ (2x + 3) ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$

= $\frac{2 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}$

f ’(2) = $\frac{2 (2) + 3}{2 \sqrt{2^{2} + 3 x 2 + 2}}$ = $\frac{7}{2 \sqrt{12}}$

(c) f(x) = $\sqrt[4]{{(2 x^{2} - 7)}^{5}}$ , x = 4

f(x) = $\sqrt[4]{{(2 x^{2} - 7)}^{5}}$ = ${(2 x^{2} - 7)}^{\frac{5}{4}}$

f ’(x) = $\frac{5}{4}$ ${(2 x^{2} - 7)}^{\frac{1}{4}}$ (4x)

= $\frac{5}{4}$ (4x) ${(2 x^{2} - 7)}^{\frac{1}{4}}$

= 5x x $\sqrt[4]{(2 x^{2} - 7)}$

f ’(4) = 5 x 4 x $\sqrt[4]{(2 {(4)}^{2} - 7)}$ = 20 $\sqrt[4]{25}$

قواعد الاشتقاق الأساسية، وقاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة (59)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = (1 + x³)⁴ + x⁸ + 2

f ’(x) = 4 (1 + x³)³ (3x²) + 8x⁷

= 12x² (1 + x³)³ + 8x⁷

(b) f(x) = $\sqrt[3]{2 x - 1}$ - (x - 3)³

f(x) = ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ – (x – 3)³

f ’(x) = $\frac{1}{3}$ ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ (2) – 3(x – 3)² (1)

= $\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(2 x - 1)}^{2}}}$ -3(x – 3)²

معدل التغير

أتحقق من فهمي صفحة (61)

صناعة: يُمثل الاقتران: P(t) = $\sqrt{10 t^{2} + t + 229}$ إجمالي الأرباح السنوية لإحدى الشركات الصناعية (بآلاف الدنانير)، حيث t عدد السنوات بعد عام 2015م.

(a) أجد معدل تغيّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة بالنسبة إلى الزمن t .

P ’(t) = $\frac{20 t + 1}{2 \sqrt{10 t^{2} + t + 229}}$

(b) أجد معدل تغيّر إجمالي الأرباح السنوي للشركة عام 2020م، مفسراً معنى الناتج.

t = 2020 – 2015 = 5

P ’(5) = $\frac{101}{2 \sqrt{250 + 5 + 229}}$ = $\frac{101}{2 \sqrt{484}}$ = $\frac{101}{2 x 22}$ = $\frac{101}{44}$ ≈ 2.3

إذن في سنة 2020 يزداد إجمالي الأرباح بمعدل 2300 دينار لكل سنة.

قاعدة السلسلة والمتغير الوسيط

أتحقق من فهمي صفحة (62)

إذا كان: y = u⁵ + u³ ، حيث: u = 3 – 4x ، فأوجد $\frac{d y}{d x}$ عندما x = 2 .

$\frac{d y}{d x}$ = 5u⁴ + 3u²

$\frac{d u}{d x}$ = -4

$\frac{d y}{d x}$ = $\frac{d y}{d u}$ x $\frac{d u}{d x}$

= (5u⁴ + 3u²) x -4

= -4(5(3 – 4x)⁴ + 3(3 – 4x)²)

= -20 (3 – 4x)⁴ – 12 (3 – 4x)²

${\frac{d y}{d x}}_{x = 2}$ = -20 (625) – 12 (25) = -12800

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

19 / 10 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025