أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا الضرب والقسمة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f (x) = x (1 + 3 x)^{5}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = x \times 5 (1 + 3 x)^{4} (3) + (1 + 3 x)^{5} (1) \\ = (1 + 3 x)^{4} (18 x + 1) \end{aligned}$

(2) $f (x) = \frac{x + 3}{x + 1}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(x + 1) (1) - (x + 3) (1)}{(x + 1)^{2}} \\ = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} \end{aligned}$

(3) $f (x) = (2 x + 1)^{5} (3 x + 2)^{4}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (2 x + 1)^{5} \times 4 (3 x + 2)^{3} (3) + (3 x + 2)^{4} \times 5 (2 x + 1)^{4} \times 2 \\ = 2 (2 x + 1)^{4} (3 x + 2)^{3} (27 x + 16) \end{aligned}$

(4) $f (x) = \frac{3 x^{2}}{(2 x - 1)^{2}}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(2 x - 1)^{2} (6 x) - (3 x^{2}) \times 2 (2 x - 1) (2)}{(2 x - 1)^{4}} \\ = \frac{6 (2 x - 1) (2 x^{2} - x - 2 x^{2})}{(2 x - 1)^{4}} \\ = \frac{- 6 x}{(2 x - 1)^{3}} \end{aligned}$

(5) $f (x) = \frac{6 x}{\sqrt{5 x + 3}}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = \frac{(\sqrt{5 x + 3}) (6) - (6 x) (\frac{5}{2 \sqrt{5 x + 3}})}{5 x + 3} & = \frac{30 x + 18 - 15 x}{(5 x + 3) \sqrt{5 x + 3}} \\ = \frac{15 x + 18}{(5 x + 3) \sqrt{5 x + 3}} \end{aligned}$

(6) $f (x) = (4 x - 1) (x^{2} - 5)$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (4 x - 1) (2 x) + (x^{2} - 5) (4) \\ = 8 x^{2} - 2 x + 4 x^{2} - 20 \\ = 12 x^{2} - 2 x - 20 \end{aligned}$

(7) $f (x) = \frac{x^{2} + 6}{2 x - 7}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(2 x - 7) (2 x) - (x^{2} + 6) (2)}{(2 x - 7)^{2}} \\ = \frac{4 x^{2} - 14 x - 2 x^{2} - 12}{(2 x - 7)^{2}} \\ = \frac{2 x^{2} - 14 x - 12}{(2 x - 7)^{2}} \end{aligned}$

(8) $f (x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x}}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(1 + \sqrt{x}) (1) - (x) (\frac{1}{2 \sqrt{x}})}{(1 + \sqrt{x})^{2}} \\ = \frac{1 + \sqrt{x} - \frac{1}{2} \sqrt{x}}{(1 + \sqrt{x})^{2}} \\ = \frac{1 + \frac{1}{2} \sqrt{x}}{(1 + \sqrt{x})^{2}} \end{aligned}$

(9) $f (x) = (x + 1) \sqrt{x - 1}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (x + 1) \times \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} + (\sqrt{x - 1}) (1) \\ = \frac{x + 1}{2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 1} = \frac{x + 1 + 2 x - 2}{2 \sqrt{x - 1}} = \frac{3 x - 1}{2 \sqrt{x - 1}} \end{aligned}$

(10) $f (x) = \frac{x}{5 + 2 x} - 2 x^{4}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(1) (5 + 2 x) - (x) (2)}{(5 + 2 x)^{2}} - 8 x^{3} \\ = \frac{5}{(5 + 2 x)^{2}} - 8 x^{3} \end{aligned}$

(11) $f (x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = \frac{(- 5) (2) (x + 2) (1)}{(x + 2)^{4}} \\ = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}} \end{aligned}$

(12) $f (x) = (x + \frac{2}{x}) (x^{2} - 3)$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (x + \frac{2}{x}) (2 x) + (x^{2} - 3) (1 - \frac{2}{x^{2}}) \\ = 2 x^{2} + 4 + x^{2} - 3 - 2 + \frac{6}{x^{2}} \\ = 3 x^{2} - 1 + \frac{6}{x^{2}} \end{aligned}$

(13) $f (x) = (8 x + \sqrt{x}) (5 x^{2} + 3)$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (8 x + \sqrt{x}) (10 x) + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) \\ = 80 x^{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 24 + \frac{3}{2 \sqrt{x}} \\ = 120 x^{2} + \frac{25}{2} x^{\frac{3}{2}} + 24 + \frac{3}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}$

(14) $f (x) = 5 x^{- 3} (x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 2)$

$\begin{aligned} f (x) = 5 x - 25 + 50 x^{- 2} - 10 x^{- 3} \\ f^{'} (x) = 5 - 100 x^{- 3} + 30 x^{- 4} \end{aligned}$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(15) $f (x) = x^{2} (3 x - 1)^{3}, x = 1$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = (x^{2}) \times 3 (3 x - 1)^{2} \times 3 + (3 x - 1)^{3} (2 x) \\ f^{'} (1) = (1) 3 (3 - 1)^{2} \times 3 + (3 (1) - 1)^{3} (2 (1)) = 36 + 16 = 52 \end{aligned}$

(16) $f (x) = 3 x \sqrt{5 - x}, x = 4$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (3 x) (\frac{- 1}{2 \sqrt{5 - x}}) + (\sqrt{5 - x}) (3) \\ f^{'} (4) & = \frac{(3 \times 4) (- 1)}{2 \sqrt{5 - 4}} + (\sqrt{5 - 4}) (3) \\ = \frac{- 12}{2 \times 1} + 1 \times 3 = - 6 + 3 = - 3 \end{aligned}$

(17) $f (x) = \frac{x - 1}{2 x + 1}, x = 2$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = \frac{(2 x + 1) (1) - (x - 1) (2)}{(2 x + 1)^{2}} = \frac{3}{(2 x + 1)^{2}} \\ f^{'} (2) = \frac{3}{(4 + 1)^{2}} = \frac{3}{25} \end{aligned}$

(18) $f (x) = (2 x + 3) (x - 2)^{2}, x = 0$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = (2 x + 3) \times 2 (x - 2) (1) + (x - 2)^{2} (2) \\ f^{'} (0) = 3 \times 2 (- 2) + 2 (- 2^{2}) = - 12 + 8 = - 4 \end{aligned}$

أعمال: يُمثل الاقتران: $S (t) = \frac{2000 t}{4 + 0 .3 t}$ إجمالي المبيعات (بلآلاف الدنانير) لشركة جواهر وحُليّ، حيث t عدد السنوات بعد عام 2020م:

(19) أجد معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة بالنسبة إلى الزمن t .

$\begin{aligned} S^{'} (t) & = \frac{(4 + 0 .3 t) (2000) - 2000 t (0 .3)}{(4 + 0 .3 t)^{2}} \\ = \frac{8000}{(4 + 0 .3 t)^{2}} \end{aligned}$

(20) أجد معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة بالنسبة عام 2020م، مفسراً معنى الناتج.

$\begin{aligned} t = 2030 - 2020 = 10 \\ S^{'} (10) = \frac{8000}{(4 + 3)^{2}} = \frac{8000}{49} \approx 163 \end{aligned}$

يتزايد إجمالي المبيعات بمقدار 163 ألف دينار لكل سنة في عام 2030م.

سكان: يُمثل عدد سكان بلدة صغيرة بالاقتران: P(t) = 12(2t² + 100) (t + 20) ، حيث t الزمن بالسنوات منذ الآن و P عدد السكان بوحدة الفرد (شخص أو نسمة):

(21) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن t .

$P^{'} (t) = 12 (2 t^{2} + 100) (1) + (t + 20) \times 12 (4 t) = 12 (6 t^{2} + 80 t + 100)$

(22) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما t = 6 ، مفسراً معنى الناتج.

$P^{'} (6) = 12 (216 + 480 + 100) = 12 (796) = 9552$

يتزايد عدد السكان بمعدل 9552 نسمة كل سنة بعد 6 سنوات من الآن.

(23) تفاعلات: يمكن نمذجة كتلة مركب في أثناء تفاعل كيميائي باستعمال الاقتران: $M (t) = \frac{5.8 t}{t + 1.9}$ ، حيث t الزمن بالثواني بعد بدء التفاعل، و M الكتلة بالغرام. أجد معدل تغير كتلة المركب بعد 5 ثوان من بدء التفاعل.

$\begin{aligned} M^{'} (t) & = \frac{(t + 1 .9) (5 .8) - (5 .8 t) (1)}{(t + 1 .9)^{2}} \\ = \frac{11 .02}{(t + 1 .9)^{2}} \\ M^{'} (5) & = \frac{11 .02}{(5 + 1 .9)^{2}} \approx 0 .23 \end{aligned}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{d y}{d x}$ لكلّ ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(24) $y = u {(u^{2} + 3)}^{3}, u = (x + 3)^{2}, x = - 2$

$\frac{d u}{d x} = 2 (x + 3) (1) = 2 x + 6$

عندما: x = -2 ، فإن: $u = (- 2 + 3)^{2} = 1$

f $\begin{aligned} {\frac{d y}{d x} |}_{x = - 2} = {\frac{d y}{d u} |}_{u = 1} \times {\frac{d u}{d x} |}_{x = - 2} \\ {\frac{d u}{d u} |}_{u = 1} = {(1^{2} + 3)}^{2} (7 (1^{2}) + 3) = 16 (10) = 160 \\ {\frac{d u}{d x} |}_{x = - 2} = 2 (- 2) + 6 = 2 \\ {\frac{d y}{d x} |}_{x = - 2} = 160 \times 2 = 320 \end{aligned}$

(25) $y = \frac{u^{3}}{u + 1}, u = {(x^{2} + 1)}^{3}, x = 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d u} = \frac{(u + 1) \times 3 u^{2} - u^{3} (1)}{(u + 1)^{2}} = \frac{2 u^{3} + 3 u^{2}}{(u + 1)^{2}} \\ \frac{d u}{d x} = 3 {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) = 6 x {(x^{2} + 1)}^{2} \end{aligned}$

عندما: x = 1 ، فإن: $u = (1^{2} + 1)^{3} = 8$

$\begin{aligned} {\frac{d y}{d x} |}_{x = 1} = {\frac{d y}{d u} |}_{u = 8} \times {\frac{d u}{d x} |}_{x = 1} \\ {\frac{d y}{d u} |}_{u = 8} = \frac{2 (8^{3}) + 3 (8^{2})}{(8 + 1)^{2}} = \frac{1216}{81} \\ {\frac{d u}{d x} |}_{x = 1} = 6 (1) {(1^{2} + 1)}^{2} = 24 \\ {\frac{d y}{d x} |}_{x = 1} = \frac{1216}{81} \times 24 = \frac{9728}{27} \end{aligned}$

إذا كان: $f (2) = 4, f^{'} (2) = - 1, g (2) = 3, g^{'} (2) = 2$ ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(26) $(f g)^{'} (2)$

$\begin{aligned} (f g)^{'} (x) & = (f \times g)^{'} (x) \\ = f (x) \times g^{'} (x) + g (x) \times f^{'} (x) \\ (f g)^{'} (2) & = f (2) \times g^{'} (2) + g (2) \times f^{'} (2) \\ = 4 \times 2 + 3 \times - 1 = 5 \end{aligned}$

(27) ${(\frac{f}{g})}^{'}$

$\begin{aligned} {(\frac{f}{g})}^{'} (x) = \frac{g (x) \times f^{'} (x) - f (x) \times g^{'} (x)}{(g (x))^{2}} \\ {(\frac{f}{g})}^{'} (2) = \frac{g (2) \times f^{'} (2) - f (2) \times g^{'} (2)}{(g (2))^{2}} = \frac{3 \times - 1 - 4 \times 2}{(3)^{2}} = - \frac{11}{9} \end{aligned}$

(28) $(3 f + f g)^{'} (2)$

$\begin{aligned} (3 f + f g)^{'} (x) & = 3 f^{'} (x) + f (x) \times g^{'} (x) + g (x) \times f^{'} (x) \\ (3 f + f g)^{'} (2) & = 3 f^{'} (2) + f (2) \times g^{'} (2) + g (2) \times f^{'} (2) \\ = 3 \times - 1 + 4 \times 2 + 3 \times - 1 = 2 \end{aligned}$