طباعة الدرس

أتحقق من فهمي

المساحة

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، وتقع فوق هذا المحور

أتحقق من فهمي صفحة (33):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x+3$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=3,x=-1$.

$f\left(x\right)=x+3$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow x+3=0\\ & \Rightarrow x=-3\end{array}$

وبما أن 3- لا ينتمي إلى الفترة [1,3-] إذن نهملها.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,3-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(0\right)=0+3=3>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-1}^3(x+1)dx\\ & ={(\frac{1}{2}{x}^2+x)|}_{-1}^3\\ & =\left(\frac{1}{2}\right(3{)}^2+3)-\left(\frac{1}{2}\right(-1{)}^2-1)\\ & =8\end{array}$

إذن، المساحة هي: 8 وحدات مربعة.

---

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، وتقع أسفل هذا المحور

أتحقق من فهمي صفحة (34):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2-4$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=1,x=-1$.

$f\left(x\right)=x^2-4$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow x^2-4=0\\ & \Rightarrow (x-2)(x+2)=0\\ & \Rightarrow x=2,x=-2\end{array}$

وبما أن كلا العددين 2,2- لا ينتمي إلى الفترة [1,1-] إذن نهملهما.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,1-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(0\right)=0-4=-4<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x

$\begin{array}{r}A=-{\int }_{-1}^1 \left(x^2-4\right)dx\\ =-{\left.\left(\frac{1}{3}{x}^3-4x\right)\right|}_{-1}^1\\ =-\left(\left(\frac{1}{3}(1{)}^3-4(1)\right)-\left(\frac{1}{3}(-1{)}^3-4(-1)\right)\right)\\ =\frac{22}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{22}{3}$ وحدات مربعة.

---

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، ويقع أحد جزأيها فوق المحور x، ويقع الجزء الآخر أسفل هذا المحور

أتحقق من فهمي صفحة (36):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2+2x$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=-3,x=-1$.

$f\left(x\right)=x^2+2x$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow x^2+2x=0\\ & \Rightarrow x(x+2)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=-2\end{array}$

وبما أن كلا العددين 2- ينتمي إلى الفترة [1-,3-] إذن تقسم الفترة إلى فترتين:

[1-,2-] و [2-,3-] 

نختار عدداً ضمن الفترة [2-,3-]، وليكن $-\frac{5}{2}$ ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f(-\frac{5}{2})={(-\frac{5}{2})}^2+2(-\frac{5}{2})=\frac{5}{4}>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [2-,3-] 

نختار عدداً ضمن الفترة [1-,2-]، وليكن $-\frac{5}{2}$ ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f(-\frac{5}{2})={(-\frac{5}{2})}^2+2(-\frac{5}{2})=\frac{5}{4}>0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1-,2-]

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-3}^{-2}(x^2+2x)dx-{\int }_{-2}^{-1}(x^2+2x)dx\\ & ={(\frac{1}{3}{x}^3+x^2)|}_{-3}^{-2}-{(\frac{1}{3}{x}^3+x^2)|}_{-2}^{-1}\\ & =(\left(\frac{1}{3}\right(-2{)}^3+(-2{)}^2)-\left(\frac{1}{3}\right(-3{)}^3+(-3{)}^2))-(\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3+(-1{)}^2)-\left(\frac{1}{3}\right(-2{)}^3+(-2{)}^2))\\ & =2\end{array}$

إذن، المساحة هي: 2 وحدات مربعة.

---

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقترن والمحور x، ولا تكون محدودة بمستقيمين

أتحقق من فهمي صفحة (38):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2+5x+4$، والمحور $x$.

$f\left(x\right)=x^2+5x+4$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow x^2+5x+4=0\\ & \Rightarrow (x+4)(x+1)=0\\ & \Rightarrow x=-4,x=-1\end{array}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [1-,4-]، وليكن 2- ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f(-2)=(-2{)}^2+5(-2)+4=-2<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1-,4-]

$\begin{array}{rl}A& =-{\int }_{-4}^{-1}(x^2+5x+4)dx\\ & =-{(\frac{1}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2+4x)|}_{-4}^{-1}\\ & =-(\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3+\frac{5}{2}(-1{)}^2+4(-1\left)\right)-\left(\frac{1}{3}\right(-4{)}^3+\frac{5}{2}(-4{)}^2+4(-4\left)\right))\\ & =\frac{9}{2}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{22}{3}$ وحدات مربعة.

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3-9x$، والمحور $x$.

$f\left(x\right)=x^3-9x$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow x^3-9x=0\\ & \Rightarrow x(x^2-9)=0\\ & \Rightarrow x(x+3)(x-3)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=-3,x=3\end{array}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [3,0-]، وليكن 1- ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f(-1)=(-1{)}^3-9(-1)=8>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران فوق المحور x في الفترة [3-,0]

نختار عدداً ضمن الفترة [0,3]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(1\right)=(1{)}^3-9(1)=-8<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران تحت المحور x في الفترة [0,3]

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-3}^0(x^3-9x)dx-{\int }_0^3(x^3-9x)dx\\ & ={(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{9}{2}{x}^2)|}_{-3}^0-{(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{9}{2}{x}^2)|}_0^3\\ & =\left(\right(0)-\left(\frac{1}{4}\right(-3{)}^4-\frac{9}{2}(-3{)}^2))-(\left(\frac{1}{4}\right(3{)}^4-\frac{9}{2}\left(3{)}^2\right)-(0\left)\right)\\ & =\frac{81}{2}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{81}{2}$ وحدات مربعة.