مسألة اليوم

مسألة اليوم

المساحات والحجوم

منحنيي اقترانين معتمداً الشكل المجاور الذي يبين منحنيي الاقترانين: $f (x) = - 2 \cos x + 4$ ، و $h (x) = 2 \cos x + 2$ :

(1) أجد إحداثيي كل من النقاط: $A, B, C, D$ .

$\begin{aligned} f (x) = h (x) \\ - 2 \cos x + 4 = 2 \cos x + 2 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \end{aligned}$

الإحداثي x للنقطة A هو أكبر حل سالب لهذه المعادلة وهو $x = - \frac{π}{3}$

$\Rightarrow A (- \frac{π}{3}, f (- \frac{π}{3})) = (- \frac{π}{3}, 3)$

إحداثيا x للنقطتين B.C هما أصغر حلين موجبين للمعادلة، وهما: $x = \frac{π}{3}$ و $x = \frac{5 π}{3}$

$\Rightarrow B (\frac{π}{3}, f (\frac{π}{3})) = (\frac{π}{3}, 3), C (\frac{5 π}{3}, f (\frac{5 π}{3})) = (\frac{5 π}{3}, 3)$

(2) أجد مساحة كل من المنطقة $R_{1}$ ، و المنطقة $R_{2}$ .

$\begin{aligned} A (R_{1}) & = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (h (x) - f (x)) d x \\ = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (2 c o s x + 2 - (- 2 c o s x + 4)) d x = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (4 c o s x - 2) d x \\ = 4 s i n x - {2 x |}_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} = 2 \sqrt{3} - \frac{2 π}{3} - (- 2 \sqrt{3} + \frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} - \frac{4 π}{3} \end{aligned} \begin{aligned} A (R_{2}) & = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{5 π}{3}} (f (x) - h (x)) d x \\ = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{5 π}{3}} (- 2 c o s x + 4 - (2 c o s x + 2)) d x = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{5 π}{3}} (2 - 4 c o s x) d x \\ = 2 x - {4 s i n x |}_{\frac{5 π}{3}}^{\frac{5 π}{3}} \\ = \frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3} - (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3}) \\ = 4 \sqrt{3} + \frac{8 π}{3} \end{aligned}$