إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

قوانين اللوغاريتمات

إذا كان: log_a 7 ≈ 0.936 ، وكان: log_a 3 ≈ 0.528 ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(1) $\log_{a} \frac{3}{7}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \frac{3}{7} & = l o g_{a} 3 - l o g_{a} 7 \\ \approx 0 .528 - 0 .936 \\ \approx - 0 .408 \end{aligned}$

(2) $\log_{a} 21$

$\begin{aligned} l o g_{a} 21 & = l o g_{a} 3 \times 7 \\ = l o g_{a} 3 + l o g_{a} 7 \\ \approx 0 .528 + 0 .936 \\ \approx 1 .464 \end{aligned}$

(3) $\frac{\log_{a} 3}{\log_{a} 7}$

$\frac{l o g_{a} 3}{l o g_{a} 7} \approx \frac{0 .528}{0 .936} \approx \frac{528}{936} \approx 0 .56$

(4) $\log_{a} \frac{1}{7}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \frac{1}{7} & = l o g_{a} 1 - l o g_{a} 7 \\ \approx 0 - 0 .936 \\ \approx - 0 .936 \end{aligned}$

(5) $\log_{a} 441$

$\begin{aligned} l o g_{a} 441 & = l o g_{a} 21^{2} \\ = 2 l o g_{a} 21 \\ = 2 l o g_{a} (3 \times 7) \\ = 2 (l o g_{a} 3 + l o g_{a} 7) \\ \approx 2 (0 .528 + 0 .936) \\ \approx 2 \times 1 .464 \\ \approx 2 .928 \end{aligned}$

(6) $\log_{a} \frac{49}{27}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \frac{49}{27} & = l o g_{a} 49 - l o g_{a} 27 \\ = l o g_{a} 7^{2} - l o g_{a} 3^{3} \\ = 2 l o g_{a} 7 - 3 l o g_{a} 3 \\ \approx 2 (0 .936) - 3 (0 .528) \\ \approx 1 .872 - 1 .584 \\ \approx 0 .288 \end{aligned}$

(7) $\log_{a} (7 a^{2})$

$\begin{aligned} l o g_{a} (7 a^{2}) & = l o g_{a} 7 + l o g_{a} a^{2} \\ = l o g_{a} 7 + 2 l o g_{a} a \\ \approx 0 .936 + 2 \\ \approx 2 .936 \end{aligned}$

(8) $\log_{a} \sqrt[4]{81}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \sqrt[4]{81} & = l o g_{a} \sqrt[4]{3^{4}} \\ = l o g_{a} 3 \\ \approx 0 .528 \end{aligned}$

(9) $(\log_{a} 3) (\log_{a} 7)$

$\begin{aligned} (l o g_{a} 3) (l o g_{a} 7) & \approx 0 .528 \times 0 .936 \\ \approx 0 .494 \end{aligned}$

أكتب كل مقدار لوغاريتمي ممّا يأتي بالصورة المطولة، علماً بأنّ المتغيرات جميعها تُمثّل أعداداً حقيقية موجبة:

(10) $\log_{a} x^{7}$

$l o g_{a} x^{7} = 7 l o g_{a} x$

(11) $\log_{a} (\frac{a c}{b})$

$\begin{aligned} l o g_{a} (\frac{a c}{b}) & = l o g_{a} a c - l o g_{a} b \\ = l o g_{a} a + l o g_{a} c - l o g_{a} b \\ = 1 + l o g_{a} c - l o g_{a} b \end{aligned}$

(12) $\log_{a} (\sqrt{x})$

$l o g_{a} (\sqrt{x}) = l o g_{a} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} l o g_{a} x$

(13) $\log_{a} (\frac{\sqrt{x y}}{z})$

$\begin{aligned} l o g_{a} (\frac{\sqrt{x y}}{z}) & = l o g_{a} \sqrt{x y} - l o g_{a} z \\ = l o g_{a} (x y)^{\frac{1}{2}} - l o g_{a} z \\ = & l o g_{a} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - l o g_{a} z \\ = & l o g_{a} x^{\frac{1}{2}} + l o g_{a} y^{\frac{1}{2}} - l o g_{a} z \\ = \frac{1}{2} l o g_{a} x + \frac{1}{2} l o g_{a} y - l o g_{a} z \end{aligned}$

(14) $\log_{a} \frac{1}{x^{3} y^{4}}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \frac{1}{x^{3} y^{4}} & = l o g_{a} 1 - l o g_{a} x^{3} y^{4} \\ = l o g_{a} 1 - (l o g_{a} x^{3} + l o g_{a} y^{4}) \\ = 0 - (3 l o g_{a} x + 4 l o g_{a} y) \\ = - 3 l o g_{a} x - 4 l o g_{a} y \end{aligned}$

(15) $\log_{a} \sqrt[7]{128 x^{7}}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \sqrt[7]{128 x^{7}} & = l o g_{a} \sqrt[7]{128} \times \sqrt[7]{x^{7}} \\ = l o g_{a} 2 x \\ = l o g_{a} 2 + l o g_{a} x \end{aligned}$

(16) $\log_{a} \frac{{(x^{- 1} y^{2})}^{4}}{{(x^{5} y^{- 2})}^{3}}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \frac{{(x^{- 1} y^{2})}^{4}}{{(x^{5} y^{- 2})}^{3}} & = l o g_{a} \frac{x^{- 4} y^{8}}{x^{15} y^{- 6}} \\ = l o g_{a} x^{- 19} y^{14} \\ = l o g_{a} x^{- 19} + l o g_{a} y^{14} \\ = - 19 l o g_{a} x + 14 l o g_{a} y \end{aligned}$

(17) $\log_{a} \sqrt{\frac{x^{2} y^{3}}{z^{3}}}$

$\begin{aligned} l o g_{a} \sqrt{\frac{x^{2} y^{3}}{z^{3}}} & = l o g_{a} \frac{\sqrt{x^{2}} \sqrt{y^{3}}}{\sqrt{z^{3}}} \\ = l o g_{a} \frac{x y^{\frac{3}{2}}}{z^{\frac{3}{2}}} \\ = l o g_{a} x y^{\frac{3}{2}} - l o g_{a} z^{\frac{3}{2}} \\ = l o g_{a} x + l o g_{a} y^{\frac{3}{2}} - l o g_{a} z^{\frac{3}{2}} \\ = l o g_{a} x + \frac{3}{2} l o g_{a} y - \frac{3}{2} l o g_{a} z \end{aligned}$

(18) $\log_{a} (x - y + z)^{9}, y - x < z$

$l o g_{a} (x - y + z)^{9} = 9 l o g_{a} (x - y + z)$

أكتب كل مقدار لوغاريتمي ممّا يأتي بالصورة المختصرة، علماً بأنّ المتغيرات جميعها تُمثّل أعداداً حقيقية موجبة:

(19) $\log_{a} x - \log_{a} y$

$l o g_{a} x - l o g_{a} y = l o g_{a} \frac{x}{y}$

(20) $\log_{b} (b - 1) + 2 \log_{b} b, b > 1$

$\begin{aligned} l o g_{b} (b - 1) + 2 l o g_{b} b & = l o g_{b} (b - 1) + l o g_{b} b^{2} \\ = l o g_{b} \frac{b - 1}{b^{2}} \end{aligned}$

(21) $\log_{a} \sqrt{x} - \log_{a} \frac{1}{\sqrt{x}}$

$l o g_{a} \sqrt{x} - l o g_{a} \frac{1}{\sqrt{x}} = l o g_{a} \frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = l o g x$

(22) ${\log_{a} (x^{2} - 25) - \log_{a} (x + 5), x > 5}^{}$

$\begin{aligned} l o g_{a} (x^{2} - 25) - l o g_{a} (x + 5) & = l o g_{a} \frac{(x^{2} - 25)}{(x + 5)} \\ = l o g_{a} \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5)} \\ = l o g_{a} (x - 5) \end{aligned}$

(23) $3 \log_{b} 1 - \log_{b} b$

$3 l o g_{b} 1 - l o g_{b} b = 3 (0) - 1 = - 1$

(24) $8 \log_{b} x + 4 \log_{b} y - \frac{1}{2} \log_{b} z$

$\begin{aligned} 8 l o g_{b} x + 4 l o g_{b} y - \frac{1}{2} l o g_{b} z & = l o g_{b} x^{8} + l o g_{b} y^{4} - l o g_{b} z^{\frac{1}{2}} \\ = l o g_{b} x^{8} y^{4} - l o g_{b} z^{\frac{1}{2}} \\ = l o g_{b} \frac{x^{8} y^{4}}{z^{\frac{1}{2}}} = l o g_{b} \frac{x^{8} y^{4}}{\sqrt{z}} \end{aligned}$

(25) إيرادات: يمثل الاقتران: T(a) = 10 + 20 log₆ (a + 1) مبيعات شركة (بآلاف الدنانير) من منتج جديد، حيث a المبلغ (بآلاف الدنانير) الذي تنفقه الشركة على إعلانات المنتج، و a $\geq$ 0 . وتعني القيمة: T(1) ≈ 17.7 أنّ إنفاق JD 1000 على الإعلانات يحقق إيرادات قيمتها JD 177000 من بيع المنتج. أجد قيمة إيرادات الشركة بعد إنفاقها مبلغ 11 ألف دينار على الإعلانات، علماً بأنّ log6 2 ≈ 0.3869 .

$\begin{aligned} T (a) & = 10 + 20 l o g_{6} (a + 1) \\ f (11) & = 10 + 20 l o g_{6} (11 + 1) \\ = 10 + 20 l o g_{6} (12) \\ = 10 + 20 l o g_{6} (6 \times 2) \\ = 10 + 20 (l o g_{6} 6 + l o g_{6} 2) \\ \approx 10 + 20 (1 + 0 .3869) \\ \approx 10 + 20 (1 .3869) \\ \approx 10 + 27 .738 \\ \approx 37 .738 \end{aligned}$

قيمة إيرادات الشركة بعد إنفاقها مبلغ JD 11000 على الإعلانات هو JD 37738 .