طباعة الدرس

أتحقق من فهمي

قاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة 43

قاعدة السلسلة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = tan 3x²

f ’(x) = 6x sec² (3x²)

(b) f(x) = e^{ln x}

f ’(x) = e^{ln x} = x

f ’(x) = 1

(c) f(x) = ln (cot x)

f ’(x) = $\frac{- {\csc }^2 x}{\cot x}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 44

قاعدة سلسلة القوة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = $\sqrt[5]{{(x^2-1)}^2}$

f (x) = $\sqrt[5]{{(x^2-1)}^2}$ = ${(x^2-1)}^{\frac{2}{5}}$

f ’(x) = $\frac{2}{5}$ ${(x^2-1)}^{-\frac{3}{5}}$ (2x) = $\frac{4x}{5 \sqrt[5]{{(x^2 - 1)}^3}}$

(b) f(x) = $\sqrt{\cos x}$

f ’(x) = $\frac{- \sin x}{2 \sqrt{\cos x}}$

(c) f(x) = (ln x)⁵

f ’(x) = 5(ln x)⁴ ($\frac{1}{x}$) = $\frac{5 {(\ln x)}^4}{x}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 46

الاستعمال المتكرر لقاعدة السلسلة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = cos² (7x³ + 6x – 1)

f(x) = cos² (7x³ + 6x – 1) = (cos(7x³ + 6x – 1))²

f ’(x) = 2(cos(7x³ + 6x – 1))¹ (-sin (7x³ + 6x – 1) (21x² + 6))

f ’(x) = -2(21x² + 6) sin(7x³ + 6x – 1) cos(7x³ + 6x -1)

 f ’(x) = - (21x² + 6) sin 2(7x³ + 6x – 1)

(b) f(x) = (2 + (x² + 1)⁴)³

f ’(x) = 3(2 + (x² + 1)⁴)² (4(x² + 1)³ (2x))

f ’(x) = 24x(x² + 1)³ (2 + (x² + 1)⁴)²

---

أتحقق من فهمي صفحة 47

قواعد الاشتقاق الأساسية، وقاعدة السلسلة

(a) أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران: f(x) = (2x + 1)⁵ (x³ – x + 1)⁴ عندما x = 1

f(x) = (2x + 1)⁵ (x³ – x + 1)⁴

f ’(x) = (2x + 1)⁵ (4) (x³ – x + 1)³ (3x² – 1) + (x³ – x + 1)⁴ (5) (2x + 1)⁴ (2)

f ’(1) = (3)⁵ (4) (1)³ (2) + (1)⁴ (5) (3)⁴ (2) = 2754

(b) أجد ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: f(x) = $\frac{{\cos }^2 x}{e^{2x}}$ عندما $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ x =

f ’(x) = $\frac{e^{2x }\mathrm{x} 2{(\cos x)}^1 (-\sin x) - {(\cos x)}^2 \mathrm{x} 2e^{2x} }{e^{4x}}$

f ’(x) = $\frac{ -\sin 2x - {2 (\cos x)}^2 }{e^{2x}}$

f ’($\frac{\mathrm{\pi }}{2}$) = $\frac{ -\sin \mathrm{\pi } - {2 (\cos {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}})}^2 }{e^{\mathrm{\pi }}}$ = 0

ميل المماس يساوي صفراً أي أن المماس أفقي، ومنه يكون العمودي على المماس رأسياً وميله غير معرف.

---

أتحقق من فهمي صفحة 48

قواعد الاشتقاق الأساسية، وقاعدة السلسلة

تُحسب قيمة بدل الخدمة لأحد المُنتجات بالدينار باستعمال الاقتران:

$\sqrt{\frac{2x + 1}{3x + 4}}$ U(x) = 80 ،  حيث x عدد القطع المبيعة من المنتج.

(a) أجد معدل تغير قيمة بدل الخدمة بالنسبة إلى عدد القطع المبيعة من المنتج.

U(x) = 80 $\sqrt{\frac{2x + 1}{3x + 4}}$

U ’(x) = 80 x  $\frac{{\displaystyle \frac{(3x + 4) \left(2\right) - (2x + 1) \left(3\right)}{{(3x + 4)}^2}}}{\sqrt[2]{{\displaystyle \frac{2x + 4}{3x + 1}}}}$ = $\frac{200}{{(3x + 4)}^2}$ $\sqrt{\frac{3x + 4}{2x + 1}}$

(b) أجد U ’(20) ، مفسراً معنى الناتج.

U ’(20) = $\frac{200}{{\left(64\right)}^2}$ $\sqrt{\frac{64}{41}}$≈ 0.061

وهذا يعني أنه عند بيع 20 قطعة، فإن قيمة بدل الخدمة تتزايد بمقدار 0.061 دينار/قطعة.

---

أتحقق من فهمي صفحة 50

مشتقة a^(g(x))

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = π^πx

f ’(x) = (π ln π) π^πx = π^{πx + 1} ln π

(b) f(x) = $6^{1-x3}$

f ’(x) = (-3x² ln 6) $6^{1-x3}$

(c) f(x) = e^4x + 4^2x

f ’(x) = 4e^4x + (2 ln 4) 4^2x

---

أتحقق من فهمي صفحة 51

مشتقة log_a g(x)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) f(x) = log sec x

f ’(x) = $\frac{\sec x \tan x}{\ln 10 \sec x}$ = $\frac{\tan x}{\ln 10}$

(b) f(x) = log₈ (x² + 3x)

f ’(x) = $\frac{2x + 3}{(x^2 + 3x) \ln 8}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 54

مشتقة المعادلات الوسيطية

أجد معادلة مماس منحنى المعادلة الوسيطية الآتية عندما t = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ :

x = sec t  ,  y = tan t  ,   -$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ < t < $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

$\frac{dy}{dt}$ = sec² t  ,   $\frac{dx}{dt}$ = sec t tan t

$\frac{dy}{dt}$ = $\frac{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}$ = $\frac{{\sec }^2 t}{\sec t \tan t}$ = $\frac{\sec t}{\tan t}$

m = $\frac{dy}{dt}$ = $\frac{\sec {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}}{\tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{1}$ = $\sqrt{2}$

x = sec $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$= $\sqrt{2}$ , y = tan $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ = 1

معادلة المماس هي:

y – 1 = $\sqrt{2}$ (x - $\sqrt{2}$)  →  y =  $\sqrt{2}$ x - 1